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모순고찰 2진논리텐서

비특수논리체계(NSLS)에서는 이중부정상쇄(~~S = S)를 부정했었다.
하지만 계층구조를 명확히 하고, T^n은 단 두 개만의 E^(n-1)로 이루어지는 이진논리텐서체계(BLTS)에서는 이를 인정하여도 문제가 없다.

NSLS에서 정의한 x와 un은 다음과 같다.

xS = S ∧ ~S
unS = ~(S ∨ ~S) = ~S ∧ ~~S

(*주 : x는 모순, un은 결정불능을 의미한다.)

하지만, 이중부정상쇄를 이용하면 unS = S ∧ ~S가 되고,
이에 따라 unS는 xS와 동일하게 된다.

이것이 고민이다. x와 un이 동일하다니. 
모순과 결정불능은 분명히 집합적으로 차이가 있다.

참 집합과 거짓집합에서 x는 둘의 교집합이고,
un은 둘의 합집합의 여집합이기 때문이다.

이는 이중부정상쇄는 단순히 기호적으로만 다루기 때문에 발생하는 것이다.

not^0 (E E) 같은 경우 당연히 not^0 not^0은 상쇄된다.
그러나 위의 모순과 결정불능에서 Tilt(~)의 의미는 다르다.

의미적으로 모순은 " '참'이 아니고, '거짓'도 아님" 인데 이 때, 거짓을 참의 Tilt로 쓰고, 다시 '아님'에 대해서도 똑같이 같은 문자를 사용했다.
여기서 참에 대한 거짓은 not^n의 연산과 같은 의미이지만, '아님'이라는 것은 not연산의 조건을 무시할 수 있다.
즉, not연산은 (E E) 같은 형태에 대해서만 사용하능하지 (E)와 같은 단일 요소에서는 사용할 수 없는 것이다.
하지만 '아님'은 마치 MIR 연산과 같은 역할을 한다.

이에 의해 참에 대한 반대로써의 '거짓'에 대해서는 not 연산자의 의미를 지니도록 하고,
'아님'이라는 절대 반대에 대해서는 1-거울계에 대해서 열등한 mir E^0 인 '0'의 의미를 지니도록 하는 것이 맞을 것이다.

그렇다면 x, un 각각의 표현은 다시 어떻게 나타나는가?

x = (1 1)이라고 하면, 임의의 요소 E^0에 대해 해당 요소의 값은 1, 그리고 그 요소에 not을 취한, not E^0 역시 1의 값을 갖는다.
un = (0 0)에 대해서도, 임의의 요소 E^0는 0, 그 요소에 not을 취한, not E^0 는 0을 갖는다.

즉, 정의에 따라 x = (1 1)은 ', 거짓', un = (0 0)은 '거짓, 거짓거짓' 을 성립시킨다.
이 때, 계층에 따라 분리되지 않고 동일한 단어로 사용된 참과 거짓들은 실제로 다음과 같은 차이를 갖는다.

붉은 색의 참은 "임의로 선택한 값"
붉은 색의 거짓은 "임의로 선택한 값의 not"
푸른 색의 참은 "1. 즉, 참"
푸른 색의 거짓은 "0. 즉, 거짓" 

이제 보면, x와 un의 합성진리값은 서로 거울계의 양면에 존재하는 Tensor값이다.

이제, t, f, x, un들을 하나의 텐서에 담으면 다음과 같이 될 것이다.
((t, f) (x, un))
하지만 x, un은 t, f보다 차수가 높다는 점에 주의해야 한다.
즉, ( (1, 0) ((1 1) (0 0)) ) 이 되는데, 이것이 과연 BLT인가?.

그리고 분명히 x와 un은 BLT에서 겨울계로 양분되는데,
일반 논리식의 표현으로는 두 진리값은 동일하게 표현된다. 교환법칙을 제거하면
xS = S ∧ ~S
unS = ~S ∧ S
로 연산 순서가 다르다고 할 수 있다.
이렇게 보면 x = (1 0), un = (0 1)로 나타내야 한다.

이보다는 전자의 정의가 더 절도있다(이런 표현은 이것이 고찰이기 때문에만 가능하다.)
복잡 다단한 연산과 조합에 의해 얼마나 전체적인 공리와 연산형태, 정의를 잘 지키느냐에 따라 정의는 선택되어야 한다.

또한, 이 과정 속에는 "그리고"라는 어휘에 서로 다른 논리적 연산이 섞여 있다는 것을 알아야 한다.

"그리고"라는 문법적 구문은
AND 연산이 될수도 있고, BIN 이라는 새로운 연산이 될수도 있다.
(* BIN은 combine 혹은 bind를 의미. 1 b 0 = (1 0) 라는 연산이다.)
(* 연산자의 가장 머릿글자만 따서 소문자로 쓰는 것은 내 관습이다. AND 는 a, NOT은 n, MIR는 m 등.)

하지만 BIN라는 연산이 포함되면 BLT는 3개 이상의 최고차 요소를 가질 수도 있고, 비정방 텐서가 존재할 수 있으므로 올바른 정의가 필요하다. 이는 최대한 지양되어야 할 것 같다.





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