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Tensor 의 이해 수학 철학 논리

0차 텐서 = Scalar
1차 텐서 = Vector
2차 텐서 = Metric

스칼라, 벡터, 행렬은 각각 텐서의 특수한 형태이다.











일반적으로 0차, 1차, 2차 Tensor는 한 평면에서 이해하는 경향이 있지만 이것은 수학 표현을 현실적 한계에 의한 것이고,
위와 같이 n차의 텐서를 n차의 공간에 한해서 생각할 수 있어야 한다.

* M계의 n차 텐서는 M^n 개의 1계 성분을 가진다.

위의 예는 3계에서의 0차, 1차, 2차, 3차 텐서를 표현한 것이다.
각각 3^0 = 1개
3^1 = 3개
3^2 = 9개
3^3 = 27개 의 성분을 가지고 있다.


이 때, 3차 이상의 텐서 방정식을 푸는 것은 매우 어렵다.
곱에 대한 역연산에 대해 살펴보면
0차 텐서는 단순한 나눗셈으로 가능하지만
1차 텐서는 1차 연립방정식을 풀고,
2차 텐서는 행렬값(Determine)을 구하고 변환행렬들을 구하는 등 점점 복잡한 과정이 필요해진다.


특히, 물리학에서는 여러 좌표계의 변환에 대한 기술을 위해 텐서를 사용한다.

하지만 물리학적 의미를 갖는 텐서나, 단순한 '행렬의 확장'으로 생각하는 것은
텐서의 이해에 방해가 된다.

그러한 의미로 텐서는 '함수'가 아닌 '값'으로 이해가 되어야 한다.
스칼라가 하나의 '수' 이고, 벡터가 '방향과 크기를 가지는 어떤 값'을 의미하듯이
행렬이나 3차이상의 텐서 역시 그러한 '값'이라는 것이다.

보통 행렬을 이용한 벡터의 변환을 배우면서 행렬을 하나의 '함수'로 이해하는 습관이 들여지기 쉬운데
그러한 변환이 이루어지는 것은 서로 다른 차수의 연산에 의한 것이며, 연산 자체는 연산규칙이 행하는 것이다. (여기서는 곱셈)

예를 들어,
스칼라 S1, S2, S3에 대해 S1 * S2 = S3 라는 연산은 S1, S2 각각 '값'이라고 여기는 것이 자연스럽지만
벡터 V1, V2, 행렬 M에 대해 V1 * M = V2 라는 연산에서 V1은 값이지만 M은 값이 아닌 다른 무엇이라고 여기는 것은
그 두 텐서의 차수가 다르기 때문이며, V1에서 V2로 변하는 연산이 보다 고차의 값과 이루어졌기 때문이다.



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